Розв'яжіть 9x^2+5x+2=0

$$9 { x }^{ 2 } +5x+2=0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{47}i}{18}\approx -0,277777778+0,3808697i$$

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-5}{18}\approx -0,277777778-0,3808697i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$9x^{2}+5x+2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 9 замість a, 5 замість b і 2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Піднесіть 5 до квадрата.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-36\times 2}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-72}}{2\times 9}$$

Додайте 25 до -72.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-47}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із -47.

$$x=\frac{-5±\sqrt{47}i}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{47}i}{18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{47}i}{18} за додатного значення ±. Додайте -5 до i\sqrt{47}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{47}i}{18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{47}i}{18} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{47} від -5.

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-5}{18}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-5+\sqrt{47}i}{18} x=\frac{-\sqrt{47}i-5}{18}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+5x+2=0$$

Відніміть 2 від обох сторін цього рівняння.

$$9x^{2}+5x+2-2=-2$$

Якщо відняти 2 від самого себе, залишиться 0.

$$9x^{2}+5x=-2$$

Розділіть обидві сторони на 9.

$$\frac{9x^{2}+5x}{9}=-\frac{2}{9}$$

Ділення на 9 скасовує множення на 9.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x=-\frac{2}{9}$$

Поділіть \frac{5}{9} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{5}{18}. Потім додайте \frac{5}{18} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{5}{18} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=-\frac{2}{9}+\frac{25}{324}$$

Щоб додати -\frac{2}{9} до \frac{25}{324}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=-\frac{47}{324}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}=-\frac{47}{324}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{47}{324}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{5}{18}=\frac{\sqrt{47}i}{18} x+\frac{5}{18}=-\frac{\sqrt{47}i}{18}$$

Відніміть \frac{5}{18} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-5+\sqrt{47}i}{18} x=\frac{-\sqrt{47}i-5}{18}$$