Розв'яжіть 84x^2+4sqrt{3}x+3=0

$$84 x ^ { 2 } + 4 \sqrt { 3 } x + 3 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0,041239305+0,184427778i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0,041239305-0,184427778i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 84 замість a, 4\sqrt{3} замість b і 3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{\left(4\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

Піднесіть 4\sqrt{3} до квадрата.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

Помножте -4 на 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-336\times 3}}{2\times 84}$$

Помножте -336 на 3.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-1008}}{2\times 84}$$

Додайте 48 до -1008.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{-960}}{2\times 84}$$

Видобудьте квадратний корінь із -960.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{2\times 84}$$

Помножте 2 на 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} за додатного значення ±. Додайте -4\sqrt{3} до 8i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}+8\sqrt{15}i}{168}$$

Розділіть -4\sqrt{3}+8i\sqrt{15} на 168.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} за від’ємного значення ±. Відніміть 8i\sqrt{15} від -4\sqrt{3}.

$$x=\frac{-8\sqrt{15}i-4\sqrt{3}}{168}$$

Розділіть -4\sqrt{3}-8i\sqrt{15} на 168.

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Відніміть 3 від обох сторін цього рівняння.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3-3=-3$$

Якщо відняти 3 від самого себе, залишиться 0.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x=-3$$

Розділіть обидві сторони на 84.

$$\frac{84x^{2}+4\sqrt{3}x}{84}=-\frac{3}{84}$$

Ділення на 84 скасовує множення на 84.

$$x^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{84}x=-\frac{3}{84}$$

Розділіть 4\sqrt{3} на 84.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{3}{84}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{-3}{84} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{1}{28}$$

Поділіть \frac{\sqrt{3}}{21} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{\sqrt{3}}{42}. Потім додайте \frac{\sqrt{3}}{42} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}$$

Піднесіть \frac{\sqrt{3}}{42} до квадрата.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{588}$$

Щоб додати -\frac{1}{28} до \frac{1}{588}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{5}{147}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{5}{147}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{147}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{\sqrt{3}}{42}=\frac{\sqrt{15}i}{21} x+\frac{\sqrt{3}}{42}=-\frac{\sqrt{15}i}{21}$$

Відніміть \frac{\sqrt{3}}{42} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$