Розв'яжіть 81x^2-90x+25

$$81 x ^ { 2 } - 90 x + 25$$

Розкласти на множники

$$\left(9x-5\right)^{2}$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 81x^{2}+ax+bx+25. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-90 ab=81\times 25=2025$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 2025.

$$-1,-2025 -3,-675 -5,-405 -9,-225 -15,-135 -25,-81 -27,-75 -45,-45$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-2025=-2026 -3-675=-678 -5-405=-410 -9-225=-234 -15-135=-150 -25-81=-106 -27-75=-102 -45-45=-90$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -90.

$$a=-45 b=-45$$

Перепишіть 81x^{2}-90x+25 як \left(81x^{2}-45x\right)+\left(-45x+25\right).

$$\left(81x^{2}-45x\right)+\left(-45x+25\right)$$

9x на першій та -5 в друге групу.

$$9x\left(9x-5\right)-5\left(9x-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 9x-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(9x-5\right)\left(9x-5\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(9x-5\right)^{2}$$

Покрокові інструкції з використання квадрату двочлена

Цей тричлен має форму квадратного тричлена, можливо, помноженого на спільний множник. Квадратні тричлени можна розкласти на множники, якщо обчислити квадратні корені першого та останнього доданків.

$$factor(81x^{2}-90x+25)$$

Обчисліть найбільший спільний дільник коефіцієнтів.

$$gcf(81,-90,25)=1$$

Видобудьте квадратний корінь із найстаршого члена: 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Видобудьте квадратний корінь із наймолодшого члена: 25.

$$\sqrt{25}=5$$

Квадратний тричлен – це піднесений до квадрата двочлен, який складається із суми або різниці квадратних коренів із першого та останнього доданків. Знак визначається за знаком середнього доданка в квадратному тричлені.

$$\left(9x-5\right)^{2}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}-90x+25=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Піднесіть -90 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Помножте -4 на 81.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

Помножте -324 на 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

Додайте 8100 до -8100.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±0}{2\times 81}$$

Число, протилежне до -90, дорівнює 90.

$$x=\frac{90±0}{2\times 81}$$

Помножте 2 на 81.

$$x=\frac{90±0}{162}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{5}{9} на x_{1} та \frac{5}{9} на x_{2}.

$$81x^{2}-90x+25=81\left(x-\frac{5}{9}\right)\left(x-\frac{5}{9}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{5}{9}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$81x^{2}-90x+25=81\times \frac{9x-5}{9}\left(x-\frac{5}{9}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{5}{9}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$81x^{2}-90x+25=81\times \frac{9x-5}{9}\times \frac{9x-5}{9}$$

Щоб помножити \frac{9x-5}{9} на \frac{9x-5}{9}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$81x^{2}-90x+25=81\times \frac{\left(9x-5\right)\left(9x-5\right)}{9\times 9}$$

Помножте 9 на 9.

$$81x^{2}-90x+25=81\times \frac{\left(9x-5\right)\left(9x-5\right)}{81}$$

Відкиньте 81, тобто найбільший спільний дільник для 81 й 81.

$$81x^{2}-90x+25=\left(9x-5\right)\left(9x-5\right)$$

Обчислити

$$\left(9x-5\right)^{2}$$