Розв'яжіть 81x^2-180x+100

$$81 x ^ { 2 } - 180 x + 100$$

Розкласти на множники

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 81x^{2}+ax+bx+100. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-180 ab=81\times 100=8100$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 8100.

$$-1,-8100 -2,-4050 -3,-2700 -4,-2025 -5,-1620 -6,-1350 -9,-900 -10,-810 -12,-675 -15,-540 -18,-450 -20,-405 -25,-324 -27,-300 -30,-270 -36,-225 -45,-180 -50,-162 -54,-150 -60,-135 -75,-108 -81,-100 -90,-90$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-8100=-8101 -2-4050=-4052 -3-2700=-2703 -4-2025=-2029 -5-1620=-1625 -6-1350=-1356 -9-900=-909 -10-810=-820 -12-675=-687 -15-540=-555 -18-450=-468 -20-405=-425 -25-324=-349 -27-300=-327 -30-270=-300 -36-225=-261 -45-180=-225 -50-162=-212 -54-150=-204 -60-135=-195 -75-108=-183 -81-100=-181 -90-90=-180$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -180.

$$a=-90 b=-90$$

Перепишіть 81x^{2}-180x+100 як \left(81x^{2}-90x\right)+\left(-90x+100\right).

$$\left(81x^{2}-90x\right)+\left(-90x+100\right)$$

9x на першій та -10 в друге групу.

$$9x\left(9x-10\right)-10\left(9x-10\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 9x-10, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Покрокові інструкції з використання квадрату двочлена

Цей тричлен має форму квадратного тричлена, можливо, помноженого на спільний множник. Квадратні тричлени можна розкласти на множники, якщо обчислити квадратні корені першого та останнього доданків.

$$factor(81x^{2}-180x+100)$$

Обчисліть найбільший спільний дільник коефіцієнтів.

$$gcf(81,-180,100)=1$$

Видобудьте квадратний корінь із найстаршого члена: 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Видобудьте квадратний корінь із наймолодшого члена: 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Квадратний тричлен – це піднесений до квадрата двочлен, який складається із суми або різниці квадратних коренів із першого та останнього доданків. Знак визначається за знаком середнього доданка в квадратному тричлені.

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}-180x+100=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{\left(-180\right)^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Піднесіть -180 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Помножте -4 на 81.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Помножте -324 на 100.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Додайте 32400 до -32400.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±0}{2\times 81}$$

Число, протилежне до -180, дорівнює 180.

$$x=\frac{180±0}{2\times 81}$$

Помножте 2 на 81.

$$x=\frac{180±0}{162}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{10}{9} на x_{1} та \frac{10}{9} на x_{2}.

$$81x^{2}-180x+100=81\left(x-\frac{10}{9}\right)\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{10}{9}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{9x-10}{9}\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{10}{9}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{9x-10}{9}\times \frac{9x-10}{9}$$

Щоб помножити \frac{9x-10}{9} на \frac{9x-10}{9}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)}{9\times 9}$$

Помножте 9 на 9.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)}{81}$$

Відкиньте 81, тобто найбільший спільний дільник для 81 й 81.

$$81x^{2}-180x+100=\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)$$

Обчислити

$$\left(9x-10\right)^{2}$$