Розв'яжіть 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Розкласти на множники

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 81x^{2}+ax+bx+100. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Оскільки ab додатне, a і b мають однаковий знак. Оскільки a+b позитивний, a і b є позитивними. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 8100.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 180.

$$a=90 b=90$$

Перепишіть 81x^{2}+180x+100 як \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Винесіть за дужки 9x в першій і 10 у другій групі.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 9x+10, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Покрокові інструкції з використання квадрату двочлена

Цей тричлен має форму квадратного тричлена, можливо, помноженого на спільний множник. Квадратні тричлени можна розкласти на множники, якщо обчислити квадратні корені першого та останнього доданків.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Обчисліть найбільший спільний дільник коефіцієнтів.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Видобудьте квадратний корінь із найстаршого члена: 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Видобудьте квадратний корінь із наймолодшого члена: 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Квадратний тричлен – це піднесений до квадрата двочлен, який складається із суми або різниці квадратних коренів із першого та останнього доданків. Знак визначається за знаком середнього доданка в квадратному тричлені.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Піднесіть 180 до квадрата.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Помножте -4 на 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Помножте -324 на 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Додайте 32400 до -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Помножте 2 на 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть -\frac{10}{9} на x_{1} та -\frac{10}{9} на x_{2}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Щоб додати \frac{10}{9} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Щоб додати \frac{10}{9} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Щоб помножити \frac{9x+10}{9} на \frac{9x+10}{9}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Помножте 9 на 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Відкиньте 81, тобто найбільший спільний дільник для 81 й 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Обчислити

$$\left(9x+10\right)^{2}$$