Розв'яжіть 81n^2+18n+1

$$81 n ^ { 2 } + 18 n + 1$$

Розкласти на множники

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 81n^{2}+an+bn+1. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=18 ab=81\times 1=81$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 81.

$$1,81 3,27 9,9$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+81=82 3+27=30 9+9=18$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 18.

$$a=9 b=9$$

Перепишіть 81n^{2}+18n+1 як \left(81n^{2}+9n\right)+\left(9n+1\right).

$$\left(81n^{2}+9n\right)+\left(9n+1\right)$$

Винесіть за дужки 9n в 81n^{2}+9n.

$$9n\left(9n+1\right)+9n+1$$

Винесіть за дужки спільний член 9n+1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

Покрокові інструкції з використання квадрату двочлена

Цей тричлен має форму квадратного тричлена, можливо, помноженого на спільний множник. Квадратні тричлени можна розкласти на множники, якщо обчислити квадратні корені першого та останнього доданків.

$$factor(81n^{2}+18n+1)$$

Обчисліть найбільший спільний дільник коефіцієнтів.

$$gcf(81,18,1)=1$$

Видобудьте квадратний корінь із найстаршого члена: 81n^{2}.

$$\sqrt{81n^{2}}=9n$$

Квадратний тричлен – це піднесений до квадрата двочлен, який складається із суми або різниці квадратних коренів із першого та останнього доданків. Знак визначається за знаком середнього доданка в квадратному тричлені.

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$81n^{2}+18n+1=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$n=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 81}}{2\times 81}$$

Піднесіть 18 до квадрата.

$$n=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 81}}{2\times 81}$$

Помножте -4 на 81.

$$n=\frac{-18±\sqrt{324-324}}{2\times 81}$$

Додайте 324 до -324.

$$n=\frac{-18±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$n=\frac{-18±0}{2\times 81}$$

Помножте 2 на 81.

$$n=\frac{-18±0}{162}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть -\frac{1}{9} на x_{1} та -\frac{1}{9} на x_{2}.

$$81n^{2}+18n+1=81\left(n-\left(-\frac{1}{9}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{1}{9}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$81n^{2}+18n+1=81\left(n+\frac{1}{9}\right)\left(n+\frac{1}{9}\right)$$

Щоб додати \frac{1}{9} до n, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{9n+1}{9}\left(n+\frac{1}{9}\right)$$

Щоб додати \frac{1}{9} до n, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{9n+1}{9}\times \frac{9n+1}{9}$$

Щоб помножити \frac{9n+1}{9} на \frac{9n+1}{9}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)}{9\times 9}$$

Помножте 9 на 9.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)}{81}$$

Відкиньте 81, тобто найбільший спільний дільник для 81 й 81.

$$81n^{2}+18n+1=\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)$$

Обчислити

$$\left(9n+1\right)^{2}$$