Розв'яжіть 81x^2+90x+25

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

Розкласти на множники

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 81x^{2}+ax+bx+25. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

Оскільки ab додатне, a і b мають однаковий знак. Оскільки a+b позитивний, a і b є позитивними. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 2025.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 90.

$$a=45 b=45$$

Перепишіть 81x^{2}+90x+25 як \left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right).

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

Винесіть за дужки 9x в першій і 5 у другій групі.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 9x+5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Покрокові інструкції з використання квадрату двочлена

Цей тричлен має форму квадратного тричлена, можливо, помноженого на спільний множник. Квадратні тричлени можна розкласти на множники, якщо обчислити квадратні корені першого та останнього доданків.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

Обчисліть найбільший спільний дільник коефіцієнтів.

$$gcf(81,90,25)=1$$

Видобудьте квадратний корінь із найстаршого члена: 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Видобудьте квадратний корінь із наймолодшого члена: 25.

$$\sqrt{25}=5$$

Квадратний тричлен – це піднесений до квадрата двочлен, який складається із суми або різниці квадратних коренів із першого та останнього доданків. Знак визначається за знаком середнього доданка в квадратному тричлені.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Піднесіть 90 до квадрата.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Помножте -4 на 81.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

Помножте -324 на 25.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

Додайте 8100 до -8100.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

Помножте 2 на 81.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть -\frac{5}{9} на x_{1} та -\frac{5}{9} на x_{2}.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Щоб додати \frac{5}{9} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Щоб додати \frac{5}{9} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

Щоб помножити \frac{9x+5}{9} на \frac{9x+5}{9}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

Помножте 9 на 9.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

Відкиньте 81, тобто найбільший спільний дільник для 81 й 81.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Обчислити

$$\left(9x+5\right)^{2}$$