Розв'яжіть 8y^2-14y-15

$$8 y ^ { 2 } - 14 y - 15$$

Розкласти на множники

$$\left(2y-5\right)\left(4y+3\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 8y^{2}+ay+by-15. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-14 ab=8\left(-15\right)=-120$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -14.

$$a=-20 b=6$$

Перепишіть 8y^{2}-14y-15 як \left(8y^{2}-20y\right)+\left(6y-15\right).

$$\left(8y^{2}-20y\right)+\left(6y-15\right)$$

4y на першій та 3 в друге групу.

$$4y\left(2y-5\right)+3\left(2y-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2y-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2y-5\right)\left(4y+3\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$8y^{2}-14y-15=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Піднесіть -14 до квадрата.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Помножте -4 на 8.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Помножте -32 на -15.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 8}$$

Додайте 196 до 480.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Видобудьте квадратний корінь із 676.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 8}$$

Число, протилежне до -14, дорівнює 14.

$$y=\frac{14±26}{2\times 8}$$

Помножте 2 на 8.

$$y=\frac{14±26}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{14±26}{16} за додатного значення ±. Додайте 14 до 26.

$$y=\frac{40}{16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{40}{16} до нескоротного вигляду.

$$y=\frac{5}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{14±26}{16} за від’ємного значення ±. Відніміть 26 від 14.

$$y=-\frac{12}{16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-12}{16} до нескоротного вигляду.

$$y=-\frac{3}{4}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{5}{2} на x_{1} та -\frac{3}{4} на x_{2}.

$$8y^{2}-14y-15=8\left(y-\frac{5}{2}\right)\left(y-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$8y^{2}-14y-15=8\left(y-\frac{5}{2}\right)\left(y+\frac{3}{4}\right)$$

Щоб відняти y від \frac{5}{2}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$8y^{2}-14y-15=8\times \frac{2y-5}{2}\left(y+\frac{3}{4}\right)$$

Щоб додати \frac{3}{4} до y, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$8y^{2}-14y-15=8\times \frac{2y-5}{2}\times \frac{4y+3}{4}$$

Щоб помножити \frac{2y-5}{2} на \frac{4y+3}{4}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$8y^{2}-14y-15=8\times \frac{\left(2y-5\right)\left(4y+3\right)}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$8y^{2}-14y-15=8\times \frac{\left(2y-5\right)\left(4y+3\right)}{8}$$

Відкиньте 8, тобто найбільший спільний дільник для 8 й 8.

$$8y^{2}-14y-15=\left(2y-5\right)\left(4y+3\right)$$

Обчислити

$$\left(2y-5\right)\left(4y+3\right)$$