Розв'яжіть 8y^2+6y-9

$$8 y ^ { 2 } + 6 y - 9$$

Розкласти на множники

$$\left(4y-3\right)\left(2y+3\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 8y^{2}+ay+by-9. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=6 ab=8\left(-9\right)=-72$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 6.

$$a=-6 b=12$$

Перепишіть 8y^{2}+6y-9 як \left(8y^{2}-6y\right)+\left(12y-9\right).

$$\left(8y^{2}-6y\right)+\left(12y-9\right)$$

Винесіть за дужки 2y в першій і 3 у другій групі.

$$2y\left(4y-3\right)+3\left(4y-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 4y-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(4y-3\right)\left(2y+3\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$8y^{2}+6y-9=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 8\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

Піднесіть 6 до квадрата.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 8\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

Помножте -4 на 8.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-32\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

Помножте -32 на -9.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 8}$$

Додайте 36 до 288.

$$y=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Видобудьте квадратний корінь із 324.

$$y=\frac{-6±18}{2\times 8}$$

Помножте 2 на 8.

$$y=\frac{-6±18}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-6±18}{16} за додатного значення ±. Додайте -6 до 18.

$$y=\frac{12}{16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{12}{16} до нескоротного вигляду.

$$y=\frac{3}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-6±18}{16} за від’ємного значення ±. Відніміть 18 від -6.

$$y=-\frac{24}{16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{-24}{16} до нескоротного вигляду.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{3}{4} на x_{1} та -\frac{3}{2} на x_{2}.

$$8y^{2}+6y-9=8\left(y-\frac{3}{4}\right)\left(y-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$8y^{2}+6y-9=8\left(y-\frac{3}{4}\right)\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Щоб відняти y від \frac{3}{4}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$8y^{2}+6y-9=8\times \frac{4y-3}{4}\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{3}{2} до y, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$8y^{2}+6y-9=8\times \frac{4y-3}{4}\times \frac{2y+3}{2}$$

Щоб помножити \frac{4y-3}{4} на \frac{2y+3}{2}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$8y^{2}+6y-9=8\times \frac{\left(4y-3\right)\left(2y+3\right)}{4\times 2}$$

Помножте 4 на 2.

$$8y^{2}+6y-9=8\times \frac{\left(4y-3\right)\left(2y+3\right)}{8}$$

Відкиньте 8, тобто найбільший спільний дільник для 8 й 8.

$$8y^{2}+6y-9=\left(4y-3\right)\left(2y+3\right)$$

Обчислити

$$\left(4y-3\right)\left(2y+3\right)$$