Розв'яжіть 8x^2-8x-1=0

$$8 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx 1,112372436$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx -0,112372436$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 8 замість a, -8 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Піднесіть -8 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Помножте -4 на 8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-32\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Помножте -32 на -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+32}}{2\times 8}$$

Додайте 64 до 32.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{96}}{2\times 8}$$

Видобудьте квадратний корінь із 96.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

Число, протилежне до -8, дорівнює 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

Помножте 2 на 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} за додатного значення ±. Додайте 8 до 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}+8}{16}$$

Розділіть 8+4\sqrt{6} на 16.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} за від’ємного значення ±. Відніміть 4\sqrt{6} від 8.

$$x=\frac{8-4\sqrt{6}}{16}$$

Розділіть 8-4\sqrt{6} на 16.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$8x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$8x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$8x^{2}-8x=1$$

Розділіть обидві сторони на 8.

$$\frac{8x^{2}-8x}{8}=\frac{1}{8}$$

Ділення на 8 скасовує множення на 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{8}\right)x=\frac{1}{8}$$

Розділіть -8 на 8.

$$x^{2}-x=\frac{1}{8}$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$$

Щоб додати \frac{1}{8} до \frac{1}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$$

Розкладіть x^{2}-x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{8}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$