Розв'яжіть 8x^2-230x+750

$$8 x ^ { 2 } - 230 x + 750$$

Розкласти на множники

$$2\left(x-25\right)\left(4x-15\right)$$

Покрокове розв’язання

Винесіть 2 за дужки.

$$2\left(4x^{2}-115x+375\right)$$

Розглянемо 4x^{2}-115x+375. Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 4x^{2}+ax+bx+375. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-115 ab=4\times 375=1500$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 1500.

$$-1,-1500 -2,-750 -3,-500 -4,-375 -5,-300 -6,-250 -10,-150 -12,-125 -15,-100 -20,-75 -25,-60 -30,-50$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-1500=-1501 -2-750=-752 -3-500=-503 -4-375=-379 -5-300=-305 -6-250=-256 -10-150=-160 -12-125=-137 -15-100=-115 -20-75=-95 -25-60=-85 -30-50=-80$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -115.

$$a=-100 b=-15$$

Перепишіть 4x^{2}-115x+375 як \left(4x^{2}-100x\right)+\left(-15x+375\right).

$$\left(4x^{2}-100x\right)+\left(-15x+375\right)$$

4x на першій та -15 в друге групу.

$$4x\left(x-25\right)-15\left(x-25\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-25, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-25\right)\left(4x-15\right)$$

Переписати повністю розкладений на множники вираз.

$$2\left(x-25\right)\left(4x-15\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-230x+750=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-\left(-230\right)±\sqrt{\left(-230\right)^{2}-4\times 8\times 750}}{2\times 8}$$

Піднесіть -230 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-230\right)±\sqrt{52900-4\times 8\times 750}}{2\times 8}$$

Помножте -4 на 8.

$$x=\frac{-\left(-230\right)±\sqrt{52900-32\times 750}}{2\times 8}$$

Помножте -32 на 750.

$$x=\frac{-\left(-230\right)±\sqrt{52900-24000}}{2\times 8}$$

Додайте 52900 до -24000.

$$x=\frac{-\left(-230\right)±\sqrt{28900}}{2\times 8}$$

Видобудьте квадратний корінь із 28900.

$$x=\frac{-\left(-230\right)±170}{2\times 8}$$

Число, протилежне до -230, дорівнює 230.

$$x=\frac{230±170}{2\times 8}$$

Помножте 2 на 8.

$$x=\frac{230±170}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{230±170}{16} за додатного значення ±. Додайте 230 до 170.

$$x=\frac{400}{16}$$

Розділіть 400 на 16.

$$x=25$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{230±170}{16} за від’ємного значення ±. Відніміть 170 від 230.

$$x=\frac{60}{16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{60}{16} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{15}{4}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть 25 на x_{1} та \frac{15}{4} на x_{2}.

$$8x^{2}-230x+750=8\left(x-25\right)\left(x-\frac{15}{4}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{15}{4}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$8x^{2}-230x+750=8\left(x-25\right)\times \frac{4x-15}{4}$$

Відкиньте 4, тобто найбільший спільний дільник для 8 й 4.

$$8x^{2}-230x+750=2\left(x-25\right)\left(4x-15\right)$$

Обчислити

$$2\left(x-25\right)\left(4x-15\right)$$