Розв'яжіть 8x^2+72x+108=0

$$8 x ^ { 2 } + 72 x + 108 = 0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{3\sqrt{3}-9}{2}\approx -1,901923789$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}-9}{2}\approx -7,098076211$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$8x^{2}+72x+108=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 8 замість a, 72 замість b і 108 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-72±\sqrt{72^{2}-4\times 8\times 108}}{2\times 8}$$

Піднесіть 72 до квадрата.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-4\times 8\times 108}}{2\times 8}$$

Помножте -4 на 8.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-32\times 108}}{2\times 8}$$

Помножте -32 на 108.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-3456}}{2\times 8}$$

Додайте 5184 до -3456.

$$x=\frac{-72±\sqrt{1728}}{2\times 8}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1728.

$$x=\frac{-72±24\sqrt{3}}{2\times 8}$$

Помножте 2 на 8.

$$x=\frac{-72±24\sqrt{3}}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-72±24\sqrt{3}}{16} за додатного значення ±. Додайте -72 до 24\sqrt{3}.

$$x=\frac{24\sqrt{3}-72}{16}$$

Розділіть -72+24\sqrt{3} на 16.

$$x=\frac{3\sqrt{3}-9}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-72±24\sqrt{3}}{16} за від’ємного значення ±. Відніміть 24\sqrt{3} від -72.

$$x=\frac{-24\sqrt{3}-72}{16}$$

Розділіть -72-24\sqrt{3} на 16.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}-9}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{3\sqrt{3}-9}{2} x=\frac{-3\sqrt{3}-9}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+72x+108=0$$

Відніміть 108 від обох сторін цього рівняння.

$$8x^{2}+72x+108-108=-108$$

Якщо відняти 108 від самого себе, залишиться 0.

$$8x^{2}+72x=-108$$

Розділіть обидві сторони на 8.

$$\frac{8x^{2}+72x}{8}=-\frac{108}{8}$$

Ділення на 8 скасовує множення на 8.

$$x^{2}+\frac{72}{8}x=-\frac{108}{8}$$

Розділіть 72 на 8.

$$x^{2}+9x=-\frac{108}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-108}{8} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+9x=-\frac{27}{2}$$

Поділіть 9 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{9}{2}. Потім додайте \frac{9}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+9x+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=-\frac{27}{2}+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{9}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=-\frac{27}{2}+\frac{81}{4}$$

Щоб додати -\frac{27}{2} до \frac{81}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=\frac{27}{4}$$

Розкладіть x^{2}+9x+\frac{81}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{9}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2} x+\frac{9}{2}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Відніміть \frac{9}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{3\sqrt{3}-9}{2} x=\frac{-3\sqrt{3}-9}{2}$$