Розв'яжіть 8x^2+12x+1=0

$$8 x ^ { 2 } + 12 x + 1 = 0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{\sqrt{7}-3}{4}\approx -0,088562172$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}-3}{4}\approx -1,411437828$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$8x^{2}+12x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 8 замість a, 12 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 8}}{2\times 8}$$

Піднесіть 12 до квадрата.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 8}}{2\times 8}$$

Помножте -4 на 8.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-32}}{2\times 8}$$

Додайте 144 до -32.

$$x=\frac{-12±\sqrt{112}}{2\times 8}$$

Видобудьте квадратний корінь із 112.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{7}}{2\times 8}$$

Помножте 2 на 8.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{7}}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-12±4\sqrt{7}}{16} за додатного значення ±. Додайте -12 до 4\sqrt{7}.

$$x=\frac{4\sqrt{7}-12}{16}$$

Розділіть -12+4\sqrt{7} на 16.

$$x=\frac{\sqrt{7}-3}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-12±4\sqrt{7}}{16} за від’ємного значення ±. Відніміть 4\sqrt{7} від -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{7}-12}{16}$$

Розділіть -12-4\sqrt{7} на 16.

$$x=\frac{-\sqrt{7}-3}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{7}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{7}-3}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+12x+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$8x^{2}+12x+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$8x^{2}+12x=-1$$

Розділіть обидві сторони на 8.

$$\frac{8x^{2}+12x}{8}=-\frac{1}{8}$$

Ділення на 8 скасовує множення на 8.

$$x^{2}+\frac{12}{8}x=-\frac{1}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{12}{8} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{1}{8}$$

Поділіть \frac{3}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{3}{4}. Потім додайте \frac{3}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{3}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{8}+\frac{9}{16}$$

Щоб додати -\frac{1}{8} до \frac{9}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{7}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{7}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$$

Відніміть \frac{3}{4} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{7}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{7}-3}{4}$$