Розв'яжіть 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 8x^{2}+ax+bx-7. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 10.

$$a=-4 b=14$$

Перепишіть 8x^{2}+10x-7 як \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

Винесіть за дужки 4x в першій і 7 у другій групі.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть 2x-1=0 і 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 8 замість a, 10 замість b і -7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Піднесіть 10 до квадрата.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Помножте -4 на 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Помножте -32 на -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

Додайте 100 до 224.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Видобудьте квадратний корінь із 324.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

Помножте 2 на 8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-10±18}{16} за додатного значення ±. Додайте -10 до 18.

$$x=\frac{8}{16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{8}{16} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-10±18}{16} за від’ємного значення ±. Відніміть 18 від -10.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-28}{16} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Додайте 7 до обох сторін цього рівняння.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Якщо відняти -7 від самого себе, залишиться 0.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

Відніміть -7 від 0.

$$8x^{2}+10x=7$$

Розділіть обидві сторони на 8.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

Ділення на 8 скасовує множення на 8.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{10}{8} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

Поділіть \frac{5}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{5}{8}. Потім додайте \frac{5}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{5}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

Щоб додати \frac{7}{8} до \frac{25}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

Відніміть \frac{5}{8} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$