Розв'яжіть 8w^2-41w+5=0

$$8 w ^ { 2 } - 41 w + 5 = 0$$

Знайдіть w

$$w=\frac{1}{8}=0,125$$

$$w=5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 8w^{2}+aw+bw+5. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-41 ab=8\times 5=40$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -41.

$$a=-40 b=-1$$

Перепишіть 8w^{2}-41w+5 як \left(8w^{2}-40w\right)+\left(-w+5\right).

$$\left(8w^{2}-40w\right)+\left(-w+5\right)$$

8w на першій та -1 в друге групу.

$$8w\left(w-5\right)-\left(w-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член w-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(w-5\right)\left(8w-1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть w-5=0 та 8w-1=0.

$$w=5 w=\frac{1}{8}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$8w^{2}-41w+5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 8 замість a, -41 замість b і 5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 8\times 5}}{2\times 8}$$

Піднесіть -41 до квадрата.

$$w=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 8\times 5}}{2\times 8}$$

Помножте -4 на 8.

$$w=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-32\times 5}}{2\times 8}$$

Помножте -32 на 5.

$$w=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-160}}{2\times 8}$$

Додайте 1681 до -160.

$$w=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1521}}{2\times 8}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1521.

$$w=\frac{-\left(-41\right)±39}{2\times 8}$$

Число, протилежне до -41, дорівнює 41.

$$w=\frac{41±39}{2\times 8}$$

Помножте 2 на 8.

$$w=\frac{41±39}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння w=\frac{41±39}{16} за додатного значення ±. Додайте 41 до 39.

$$w=\frac{80}{16}$$

Розділіть 80 на 16.

$$w=5$$

Тепер розв’яжіть рівняння w=\frac{41±39}{16} за від’ємного значення ±. Відніміть 39 від 41.

$$w=\frac{2}{16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{2}{16} до нескоротного вигляду.

$$w=\frac{1}{8}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$w=5 w=\frac{1}{8}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$8w^{2}-41w+5=0$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$8w^{2}-41w+5-5=-5$$

Якщо відняти 5 від самого себе, залишиться 0.

$$8w^{2}-41w=-5$$

Розділіть обидві сторони на 8.

$$\frac{8w^{2}-41w}{8}=-\frac{5}{8}$$

Ділення на 8 скасовує множення на 8.

$$w^{2}-\frac{41}{8}w=-\frac{5}{8}$$

Поділіть -\frac{41}{8} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{41}{16}. Потім додайте -\frac{41}{16} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$w^{2}-\frac{41}{8}w+\left(-\frac{41}{16}\right)^{2}=-\frac{5}{8}+\left(-\frac{41}{16}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{41}{16} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$w^{2}-\frac{41}{8}w+\frac{1681}{256}=-\frac{5}{8}+\frac{1681}{256}$$

Щоб додати -\frac{5}{8} до \frac{1681}{256}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$w^{2}-\frac{41}{8}w+\frac{1681}{256}=\frac{1521}{256}$$

Розкладіть w^{2}-\frac{41}{8}w+\frac{1681}{256} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(w-\frac{41}{16}\right)^{2}=\frac{1521}{256}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(w-\frac{41}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{256}}$$

Виконайте спрощення.

$$w-\frac{41}{16}=\frac{39}{16} w-\frac{41}{16}=-\frac{39}{16}$$

Додайте \frac{41}{16} до обох сторін цього рівняння.

$$w=5 w=\frac{1}{8}$$