Розв'яжіть 8v^2+26v+15

$$8 v ^ { 2 } + 26 v + 15$$

Розкласти на множники

$$\left(2v+5\right)\left(4v+3\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 8v^{2}+av+bv+15. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=26 ab=8\times 15=120$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 26.

$$a=6 b=20$$

Перепишіть 8v^{2}+26v+15 як \left(8v^{2}+6v\right)+\left(20v+15\right).

$$\left(8v^{2}+6v\right)+\left(20v+15\right)$$

2v на першій та 5 в друге групу.

$$2v\left(4v+3\right)+5\left(4v+3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 4v+3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(4v+3\right)\left(2v+5\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$8v^{2}+26v+15=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$v=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Піднесіть 26 до квадрата.

$$v=\frac{-26±\sqrt{676-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Помножте -4 на 8.

$$v=\frac{-26±\sqrt{676-32\times 15}}{2\times 8}$$

Помножте -32 на 15.

$$v=\frac{-26±\sqrt{676-480}}{2\times 8}$$

Додайте 676 до -480.

$$v=\frac{-26±\sqrt{196}}{2\times 8}$$

Видобудьте квадратний корінь із 196.

$$v=\frac{-26±14}{2\times 8}$$

Помножте 2 на 8.

$$v=\frac{-26±14}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння v=\frac{-26±14}{16} за додатного значення ±. Додайте -26 до 14.

$$v=-\frac{12}{16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-12}{16} до нескоротного вигляду.

$$v=-\frac{3}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння v=\frac{-26±14}{16} за від’ємного значення ±. Відніміть 14 від -26.

$$v=-\frac{40}{16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{-40}{16} до нескоротного вигляду.

$$v=-\frac{5}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть -\frac{3}{4} на x_{1} та -\frac{5}{2} на x_{2}.

$$8v^{2}+26v+15=8\left(v-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$8v^{2}+26v+15=8\left(v+\frac{3}{4}\right)\left(v+\frac{5}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{3}{4} до v, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$8v^{2}+26v+15=8\times \frac{4v+3}{4}\left(v+\frac{5}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{5}{2} до v, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$8v^{2}+26v+15=8\times \frac{4v+3}{4}\times \frac{2v+5}{2}$$

Щоб помножити \frac{4v+3}{4} на \frac{2v+5}{2}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$8v^{2}+26v+15=8\times \frac{\left(4v+3\right)\left(2v+5\right)}{4\times 2}$$

Помножте 4 на 2.

$$8v^{2}+26v+15=8\times \frac{\left(4v+3\right)\left(2v+5\right)}{8}$$

Відкиньте 8, тобто найбільший спільний дільник для 8 й 8.

$$8v^{2}+26v+15=\left(4v+3\right)\left(2v+5\right)$$

Обчислити

$$\left(2v+5\right)\left(4v+3\right)$$