Розв'яжіть 8x^2-24x-24=0

$$8 { x }^{ 2 } -24x-24=0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{21} + 3}{2} \approx 3,791287847$$

$$x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}\approx -0,791287847$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$8x^{2}-24x-24=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 8 замість a, -24 замість b і -24 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 8\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

Піднесіть -24 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 8\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

Помножте -4 на 8.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-32\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

Помножте -32 на -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+768}}{2\times 8}$$

Додайте 576 до 768.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1344}}{2\times 8}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1344.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±8\sqrt{21}}{2\times 8}$$

Число, протилежне до -24, дорівнює 24.

$$x=\frac{24±8\sqrt{21}}{2\times 8}$$

Помножте 2 на 8.

$$x=\frac{24±8\sqrt{21}}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{24±8\sqrt{21}}{16} за додатного значення ±. Додайте 24 до 8\sqrt{21}.

$$x=\frac{8\sqrt{21}+24}{16}$$

Розділіть 24+8\sqrt{21} на 16.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{24±8\sqrt{21}}{16} за від’ємного значення ±. Відніміть 8\sqrt{21} від 24.

$$x=\frac{24-8\sqrt{21}}{16}$$

Розділіть 24-8\sqrt{21} на 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-24x-24=0$$

Додайте 24 до обох сторін цього рівняння.

$$8x^{2}-24x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Якщо відняти -24 від самого себе, залишиться 0.

$$8x^{2}-24x=-\left(-24\right)$$

Відніміть -24 від 0.

$$8x^{2}-24x=24$$

Розділіть обидві сторони на 8.

$$\frac{8x^{2}-24x}{8}=\frac{24}{8}$$

Ділення на 8 скасовує множення на 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{8}\right)x=\frac{24}{8}$$

Розділіть -24 на 8.

$$x^{2}-3x=\frac{24}{8}$$

Розділіть 24 на 8.

$$x^{2}-3x=3$$

Поділіть -3 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{3}{2}. Потім додайте -\frac{3}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=3+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{3}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=3+\frac{9}{4}$$

Додайте 3 до \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{21}{4}$$

Розкладіть x^{2}-3x+\frac{9}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{21}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$

Додайте \frac{3}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$