Розв'яжіть 8x^2+x-9<0

$$8 { x }^{ 2 } +x-9 < 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-\frac{9}{8},1\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}+x-9=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 8 на a, 1 – на b, а -9 – на c.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 8\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-1±17}{16}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±17}{16} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=1 x=-\frac{9}{8}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$8\left(x-1\right)\left(x+\frac{9}{8}\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-1 і x+\frac{9}{8} мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-1 має додатне значення, а x+\frac{9}{8} – від’ємне.

$$x-1>0 x+\frac{9}{8}<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x+\frac{9}{8} має додатне значення, а x-1 – від’ємне.

$$x+\frac{9}{8}>0 x-1<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(-\frac{9}{8},1\right).

$$x\in \left(-\frac{9}{8},1\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(-\frac{9}{8},1\right)$$