Розв'яжіть 8x^2+x+2=0

$$8 { x }^{ 2 } +x+2=0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-1+3\sqrt{7}i}{16}\approx -0,0625+0,496078371i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i-1}{16}\approx -0,0625-0,496078371i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$8x^{2}+x+2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 8 замість a, 1 замість b і 2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 8\times 2}}{2\times 8}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 8\times 2}}{2\times 8}$$

Помножте -4 на 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-32\times 2}}{2\times 8}$$

Помножте -32 на 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-64}}{2\times 8}$$

Додайте 1 до -64.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-63}}{2\times 8}$$

Видобудьте квадратний корінь із -63.

$$x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{2\times 8}$$

Помножте 2 на 8.

$$x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{16} за додатного значення ±. Додайте -1 до 3i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-1+3\sqrt{7}i}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{16} за від’ємного значення ±. Відніміть 3i\sqrt{7} від -1.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i-1}{16}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-1+3\sqrt{7}i}{16} x=\frac{-3\sqrt{7}i-1}{16}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+x+2=0$$

Відніміть 2 від обох сторін цього рівняння.

$$8x^{2}+x+2-2=-2$$

Якщо відняти 2 від самого себе, залишиться 0.

$$8x^{2}+x=-2$$

Розділіть обидві сторони на 8.

$$\frac{8x^{2}+x}{8}=-\frac{2}{8}$$

Ділення на 8 скасовує множення на 8.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x=-\frac{2}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-2}{8} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x=-\frac{1}{4}$$

Поділіть \frac{1}{8} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{16}. Потім додайте \frac{1}{16} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\left(\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{16} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{256}$$

Щоб додати -\frac{1}{4} до \frac{1}{256}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=-\frac{63}{256}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{63}{256}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{63}{256}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{16}=\frac{3\sqrt{7}i}{16} x+\frac{1}{16}=-\frac{3\sqrt{7}i}{16}$$

Відніміть \frac{1}{16} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-1+3\sqrt{7}i}{16} x=\frac{-3\sqrt{7}i-1}{16}$$