Розв'яжіть 8x^2+2x-3=0

$$8 { x }^{ 2 } +2x-3=0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 8x^{2}+ax+bx-3. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=2 ab=8\left(-3\right)=-24$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 2.

$$a=-4 b=6$$

Перепишіть 8x^{2}+2x-3 як \left(8x^{2}-4x\right)+\left(6x-3\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(6x-3\right)$$

Винесіть за дужки 4x в першій і 3 у другій групі.

$$4x\left(2x-1\right)+3\left(2x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть 2x-1=0 і 4x+3=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$8x^{2}+2x-3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 8 замість a, 2 замість b і -3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Піднесіть 2 до квадрата.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Помножте -4 на 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Помножте -32 на -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+96}}{2\times 8}$$

Додайте 4 до 96.

$$x=\frac{-2±\sqrt{100}}{2\times 8}$$

Видобудьте квадратний корінь із 100.

$$x=\frac{-2±10}{2\times 8}$$

Помножте 2 на 8.

$$x=\frac{-2±10}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±10}{16} за додатного значення ±. Додайте -2 до 10.

$$x=\frac{8}{16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{8}{16} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±10}{16} за від’ємного значення ±. Відніміть 10 від -2.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-12}{16} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+2x-3=0$$

Додайте 3 до обох сторін цього рівняння.

$$8x^{2}+2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Якщо відняти -3 від самого себе, залишиться 0.

$$8x^{2}+2x=-\left(-3\right)$$

Відніміть -3 від 0.

$$8x^{2}+2x=3$$

Розділіть обидві сторони на 8.

$$\frac{8x^{2}+2x}{8}=\frac{3}{8}$$

Ділення на 8 скасовує множення на 8.

$$x^{2}+\frac{2}{8}x=\frac{3}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{2}{8} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{8}$$

Поділіть \frac{1}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{8}. Потім додайте \frac{1}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{3}{8}+\frac{1}{64}$$

Щоб додати \frac{3}{8} до \frac{1}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{25}{64}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{5}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{5}{8}$$

Відніміть \frac{1}{8} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$