Розв'яжіть 77r^2+45r-18

$$77 r ^ { 2 } + 45 r - 18$$

Розкласти на множники

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 77r^{2}+ar+br-18. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=45 ab=77\left(-18\right)=-1386$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -1386.

$$-1,1386 -2,693 -3,462 -6,231 -7,198 -9,154 -11,126 -14,99 -18,77 -21,66 -22,63 -33,42$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+1386=1385 -2+693=691 -3+462=459 -6+231=225 -7+198=191 -9+154=145 -11+126=115 -14+99=85 -18+77=59 -21+66=45 -22+63=41 -33+42=9$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 45.

$$a=-21 b=66$$

Перепишіть 77r^{2}+45r-18 як \left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right).

$$\left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right)$$

7r на першій та 6 в друге групу.

$$7r\left(11r-3\right)+6\left(11r-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 11r-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$77r^{2}+45r-18=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$r=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Піднесіть 45 до квадрата.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Помножте -4 на 77.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-308\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Помножте -308 на -18.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025+5544}}{2\times 77}$$

Додайте 2025 до 5544.

$$r=\frac{-45±\sqrt{7569}}{2\times 77}$$

Видобудьте квадратний корінь із 7569.

$$r=\frac{-45±87}{2\times 77}$$

Помножте 2 на 77.

$$r=\frac{-45±87}{154}$$

Тепер розв’яжіть рівняння r=\frac{-45±87}{154} за додатного значення ±. Додайте -45 до 87.

$$r=\frac{42}{154}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 14, щоб звести дріб \frac{42}{154} до нескоротного вигляду.

$$r=\frac{3}{11}$$

Тепер розв’яжіть рівняння r=\frac{-45±87}{154} за від’ємного значення ±. Відніміть 87 від -45.

$$r=-\frac{132}{154}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 22, щоб звести дріб \frac{-132}{154} до нескоротного вигляду.

$$r=-\frac{6}{7}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{3}{11} на x_{1} та -\frac{6}{7} на x_{2}.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r-\left(-\frac{6}{7}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Щоб відняти r від \frac{3}{11}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Щоб додати \frac{6}{7} до r, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\times \frac{7r+6}{7}$$

Щоб помножити \frac{11r-3}{11} на \frac{7r+6}{7}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{11\times 7}$$

Помножте 11 на 7.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{77}$$

Відкиньте 77, тобто найбільший спільний дільник для 77 й 77.

$$77r^{2}+45r-18=\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Обчислити

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$