Розв'яжіть 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Розділіть обидві сторони на 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 15x^{2}+ax+bx-2. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 7.

$$a=-3 b=10$$

Перепишіть 15x^{2}+7x-2 як \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

3x на першій та 2 в друге групу.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 5x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 5x-1=0 та 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 75 замість a, 35 замість b і -10 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Піднесіть 35 до квадрата.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Помножте -4 на 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Помножте -300 на -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Додайте 1225 до 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Видобудьте квадратний корінь із 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Помножте 2 на 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-35±65}{150} за додатного значення ±. Додайте -35 до 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 30, щоб звести дріб \frac{30}{150} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-35±65}{150} за від’ємного значення ±. Відніміть 65 від -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 50, щоб звести дріб \frac{-100}{150} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Додайте 10 до обох сторін цього рівняння.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Якщо відняти -10 від самого себе, залишиться 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Відніміть -10 від 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Розділіть обидві сторони на 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

Ділення на 75 скасовує множення на 75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 5, щоб звести дріб \frac{35}{75} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 5, щоб звести дріб \frac{10}{75} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Поділіть \frac{7}{15} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{7}{30}. Потім додайте \frac{7}{30} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{7}{30} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Щоб додати \frac{2}{15} до \frac{49}{900}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Відніміть \frac{7}{30} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$