Розв'яжіть 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Знайдіть x, y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1,689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0,655172414$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$7x-15y-2=0$$

Додайте 2 до обох сторін цього рівняння.

$$7x-15y=2$$

Додайте 15y до обох сторін цього рівняння.

$$7x=15y+2$$

Розділіть обидві сторони на 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Помножте \frac{1}{7} на 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Підставте \frac{15y+2}{7} замість x в іншому рівнянні: x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Додайте \frac{15y}{7} до 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Відніміть \frac{2}{7} від обох сторін цього рівняння.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Розділіть обидві сторони рівняння на \frac{29}{7}. Це те саме, що й помножити обидві сторони на обернений дріб.

$$y=\frac{19}{29}$$

Підставте \frac{19}{29} замість y у рівняння x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Щоб помножити \frac{15}{7} на \frac{19}{29}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Щоб додати \frac{2}{7} до \frac{285}{203}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{49}{29}$$

Систему розв’язано.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Щоб отримати рівність між 7x і x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на 1, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Виконайте спрощення.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Знайдіть різницю 7x+14y=21 і 7x-15y-2=0. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Додайте 7x до -7x. Члени 7x та -7x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$-15y-14y-2=-21$$

Додайте -15y до -14y.

$$-29y-2=-21$$

Додайте 2 до обох сторін цього рівняння.

$$-29y=-19$$

Розділіть обидві сторони на -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

Підставте \frac{19}{29} замість y у рівняння x+2y=3. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Помножте 2 на \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Відніміть \frac{38}{29} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{49}{29}$$

Систему розв’язано.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$