Розв'яжіть 7x^2-18x-9=0

$$7 x ^ { 2 } - 18 x - 9 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x=3$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 7x^{2}+ax+bx-9. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-18 ab=7\left(-9\right)=-63$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -63.

$$1,-63 3,-21 7,-9$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-63=-62 3-21=-18 7-9=-2$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -18.

$$a=-21 b=3$$

Перепишіть 7x^{2}-18x-9 як \left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right)$$

7x на першій та 3 в друге групу.

$$7x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-3\right)\left(7x+3\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-3=0 та 7x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 7 замість a, -18 замість b і -9 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Піднесіть -18 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Помножте -4 на 7.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Помножте -28 на -9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+252}}{2\times 7}$$

Додайте 324 до 252.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{576}}{2\times 7}$$

Видобудьте квадратний корінь із 576.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±24}{2\times 7}$$

Число, протилежне до -18, дорівнює 18.

$$x=\frac{18±24}{2\times 7}$$

Помножте 2 на 7.

$$x=\frac{18±24}{14}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{18±24}{14} за додатного значення ±. Додайте 18 до 24.

$$x=\frac{42}{14}$$

Розділіть 42 на 14.

$$x=3$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{18±24}{14} за від’ємного значення ±. Відніміть 24 від 18.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-6}{14} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Додайте 9 до обох сторін цього рівняння.

$$7x^{2}-18x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Якщо відняти -9 від самого себе, залишиться 0.

$$7x^{2}-18x=-\left(-9\right)$$

Відніміть -9 від 0.

$$7x^{2}-18x=9$$

Розділіть обидві сторони на 7.

$$\frac{7x^{2}-18x}{7}=\frac{9}{7}$$

Ділення на 7 скасовує множення на 7.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x=\frac{9}{7}$$

Поділіть -\frac{18}{7} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{9}{7}. Потім додайте -\frac{9}{7} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{9}{7} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{9}{7}+\frac{81}{49}$$

Щоб додати \frac{9}{7} до \frac{81}{49}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{144}{49}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{144}{49}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{49}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{9}{7}=\frac{12}{7} x-\frac{9}{7}=-\frac{12}{7}$$

Додайте \frac{9}{7} до обох сторін цього рівняння.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$