Розв'яжіть 7x^2-11x+4=0

$$7 x ^ { 2 } - 11 x + 4 = 0$$

Знайдіть x

$$x=1$$

$$x=\frac{4}{7}\approx 0,571428571$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 7x^{2}+ax+bx+4. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-11 ab=7\times 4=28$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -11.

$$a=-7 b=-4$$

Перепишіть 7x^{2}-11x+4 як \left(7x^{2}-7x\right)+\left(-4x+4\right).

$$\left(7x^{2}-7x\right)+\left(-4x+4\right)$$

7x на першій та -4 в друге групу.

$$7x\left(x-1\right)-4\left(x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-1\right)\left(7x-4\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-1=0 та 7x-4=0.

$$x=1 x=\frac{4}{7}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$7x^{2}-11x+4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 7 замість a, -11 замість b і 4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 7\times 4}}{2\times 7}$$

Піднесіть -11 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 7\times 4}}{2\times 7}$$

Помножте -4 на 7.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-28\times 4}}{2\times 7}$$

Помножте -28 на 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2\times 7}$$

Додайте 121 до -112.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2\times 7}$$

Видобудьте квадратний корінь із 9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±3}{2\times 7}$$

Число, протилежне до -11, дорівнює 11.

$$x=\frac{11±3}{2\times 7}$$

Помножте 2 на 7.

$$x=\frac{11±3}{14}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{11±3}{14} за додатного значення ±. Додайте 11 до 3.

$$x=\frac{14}{14}$$

Розділіть 14 на 14.

$$x=1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{11±3}{14} за від’ємного значення ±. Відніміть 3 від 11.

$$x=\frac{8}{14}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{8}{14} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{4}{7}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=1 x=\frac{4}{7}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-11x+4=0$$

Відніміть 4 від обох сторін цього рівняння.

$$7x^{2}-11x+4-4=-4$$

Якщо відняти 4 від самого себе, залишиться 0.

$$7x^{2}-11x=-4$$

Розділіть обидві сторони на 7.

$$\frac{7x^{2}-11x}{7}=-\frac{4}{7}$$

Ділення на 7 скасовує множення на 7.

$$x^{2}-\frac{11}{7}x=-\frac{4}{7}$$

Поділіть -\frac{11}{7} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{11}{14}. Потім додайте -\frac{11}{14} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{11}{7}x+\left(-\frac{11}{14}\right)^{2}=-\frac{4}{7}+\left(-\frac{11}{14}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{11}{14} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{11}{7}x+\frac{121}{196}=-\frac{4}{7}+\frac{121}{196}$$

Щоб додати -\frac{4}{7} до \frac{121}{196}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{11}{7}x+\frac{121}{196}=\frac{9}{196}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{11}{7}x+\frac{121}{196} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{14}\right)^{2}=\frac{9}{196}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{196}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{11}{14}=\frac{3}{14} x-\frac{11}{14}=-\frac{3}{14}$$

Додайте \frac{11}{14} до обох сторін цього рівняння.

$$x=1 x=\frac{4}{7}$$