Розв'яжіть 7x^2+5x+5=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x + 5 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14}\approx -0,357142857+0,765986092i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}\approx -0,357142857-0,765986092i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$7x^{2}+5x+5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 7 замість a, 5 замість b і 5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Піднесіть 5 до квадрата.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Помножте -4 на 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\times 5}}{2\times 7}$$

Помножте -28 на 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-140}}{2\times 7}$$

Додайте 25 до -140.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-115}}{2\times 7}$$

Видобудьте квадратний корінь із -115.

$$x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{2\times 7}$$

Помножте 2 на 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14} за додатного значення ±. Додайте -5 до i\sqrt{115}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{115} від -5.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14} x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+5x+5=0$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$7x^{2}+5x+5-5=-5$$

Якщо відняти 5 від самого себе, залишиться 0.

$$7x^{2}+5x=-5$$

Розділіть обидві сторони на 7.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=-\frac{5}{7}$$

Ділення на 7 скасовує множення на 7.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=-\frac{5}{7}$$

Поділіть \frac{5}{7} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{5}{14}. Потім додайте \frac{5}{14} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{5}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{5}{14} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{5}{7}+\frac{25}{196}$$

Щоб додати -\frac{5}{7} до \frac{25}{196}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{115}{196}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{115}{196}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{196}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{\sqrt{115}i}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{\sqrt{115}i}{14}$$

Відніміть \frac{5}{14} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14} x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$