Розв'яжіть 7x^2+4x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0,285714286+0,24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0,285714286-0,24743583i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 7 замість a, 4 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

Піднесіть 4 до квадрата.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

Помножте -4 на 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

Додайте 16 до -28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

Видобудьте квадратний корінь із -12.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

Помножте 2 на 7.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} за додатного значення ±. Додайте -4 до 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

Розділіть -4+2i\sqrt{3} на 14.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{3} від -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

Розділіть -4-2i\sqrt{3} на 14.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$7x^{2}+4x=-1$$

Розділіть обидві сторони на 7.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

Ділення на 7 скасовує множення на 7.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Поділіть \frac{4}{7} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{2}{7}. Потім додайте \frac{2}{7} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{2}{7} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

Щоб додати -\frac{1}{7} до \frac{4}{49}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

Відніміть \frac{2}{7} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$