Розв'яжіть 7t^2-32t+12=0

$$7 t ^ { 2 } - 32 t + 12 = 0$$

Знайдіть t

$$t = \frac{2 \sqrt{43} + 16}{7} \approx 4,15926815$$

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}\approx 0,412160422$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 7 замість a, -32 замість b і 12 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Піднесіть -32 до квадрата.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Помножте -4 на 7.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\times 12}}{2\times 7}$$

Помножте -28 на 12.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-336}}{2\times 7}$$

Додайте 1024 до -336.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{688}}{2\times 7}$$

Видобудьте квадратний корінь із 688.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

Число, протилежне до -32, дорівнює 32.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

Помножте 2 на 7.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14} за додатного значення ±. Додайте 32 до 4\sqrt{43}.

$$t=\frac{4\sqrt{43}+32}{14}$$

Розділіть 32+4\sqrt{43} на 14.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14} за від’ємного значення ±. Відніміть 4\sqrt{43} від 32.

$$t=\frac{32-4\sqrt{43}}{14}$$

Розділіть 32-4\sqrt{43} на 14.

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

Відніміть 12 від обох сторін цього рівняння.

$$7t^{2}-32t+12-12=-12$$

Якщо відняти 12 від самого себе, залишиться 0.

$$7t^{2}-32t=-12$$

Розділіть обидві сторони на 7.

$$\frac{7t^{2}-32t}{7}=-\frac{12}{7}$$

Ділення на 7 скасовує множення на 7.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t=-\frac{12}{7}$$

Поділіть -\frac{32}{7} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{16}{7}. Потім додайте -\frac{16}{7} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=-\frac{12}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{16}{7} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=-\frac{12}{7}+\frac{256}{49}$$

Щоб додати -\frac{12}{7} до \frac{256}{49}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=\frac{172}{49}$$

Розкладіть t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{172}{49}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{172}{49}}$$

Виконайте спрощення.

$$t-\frac{16}{7}=\frac{2\sqrt{43}}{7} t-\frac{16}{7}=-\frac{2\sqrt{43}}{7}$$

Додайте \frac{16}{7} до обох сторін цього рівняння.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$