Розв'яжіть 7-2(3x-1)^2=47

$$7 - 2 ( 3 x - 1 ) ^ { 2 } = 47$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,490711985i$$

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}\approx 0,333333333+1,490711985i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(3x-1\right)^{2}.

$$7-2\left(9x^{2}-6x+1\right)=47$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -2 на 9x^{2}-6x+1.

$$7-18x^{2}+12x-2=47$$

Відніміть 2 від 7, щоб отримати 5.

$$5-18x^{2}+12x=47$$

Відніміть 47 з обох сторін.

$$5-18x^{2}+12x-47=0$$

Відніміть 47 від 5, щоб отримати -42.

$$-42-18x^{2}+12x=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-18x^{2}+12x-42=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -18 замість a, 12 замість b і -42 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-18\right)\left(-42\right)}}{2\left(-18\right)}$$

Піднесіть 12 до квадрата.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-18\right)\left(-42\right)}}{2\left(-18\right)}$$

Помножте -4 на -18.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+72\left(-42\right)}}{2\left(-18\right)}$$

Помножте 72 на -42.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-3024}}{2\left(-18\right)}$$

Додайте 144 до -3024.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-2880}}{2\left(-18\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -2880.

$$x=\frac{-12±24\sqrt{5}i}{2\left(-18\right)}$$

Помножте 2 на -18.

$$x=\frac{-12±24\sqrt{5}i}{-36}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-12±24\sqrt{5}i}{-36} за додатного значення ±. Додайте -12 до 24i\sqrt{5}.

$$x=\frac{-12+24\sqrt{5}i}{-36}$$

Розділіть -12+24i\sqrt{5} на -36.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-12±24\sqrt{5}i}{-36} за від’ємного значення ±. Відніміть 24i\sqrt{5} від -12.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}i-12}{-36}$$

Розділіть -12-24i\sqrt{5} на -36.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3} x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(3x-1\right)^{2}.

$$7-2\left(9x^{2}-6x+1\right)=47$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -2 на 9x^{2}-6x+1.

$$7-18x^{2}+12x-2=47$$

Відніміть 2 від 7, щоб отримати 5.

$$5-18x^{2}+12x=47$$

Відніміть 5 з обох сторін.

$$-18x^{2}+12x=47-5$$

Відніміть 5 від 47, щоб отримати 42.

$$-18x^{2}+12x=42$$

Розділіть обидві сторони на -18.

$$\frac{-18x^{2}+12x}{-18}=\frac{42}{-18}$$

Ділення на -18 скасовує множення на -18.

$$x^{2}+\frac{12}{-18}x=\frac{42}{-18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{12}{-18} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{42}{-18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{42}{-18} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Поділіть -\frac{2}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{3}. Потім додайте -\frac{1}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{1}{9}$$

Щоб додати -\frac{7}{3} до \frac{1}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{20}{9}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{20}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{5}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{5}i}{3}$$

Додайте \frac{1}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$