Розв'яжіть 7x^2-74x-120

$$7 { x }^{ 2 } -74x-120$$

Розкласти на множники

$$\left(x-12\right)\left(7x+10\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 7x^{2}+ax+bx-120. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-74 ab=7\left(-120\right)=-840$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -840.

$$1,-840 2,-420 3,-280 4,-210 5,-168 6,-140 7,-120 8,-105 10,-84 12,-70 14,-60 15,-56 20,-42 21,-40 24,-35 28,-30$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-840=-839 2-420=-418 3-280=-277 4-210=-206 5-168=-163 6-140=-134 7-120=-113 8-105=-97 10-84=-74 12-70=-58 14-60=-46 15-56=-41 20-42=-22 21-40=-19 24-35=-11 28-30=-2$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -74.

$$a=-84 b=10$$

Перепишіть 7x^{2}-74x-120 як \left(7x^{2}-84x\right)+\left(10x-120\right).

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(10x-120\right)$$

7x на першій та 10 в друге групу.

$$7x\left(x-12\right)+10\left(x-12\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-12, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-12\right)\left(7x+10\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$7x^{2}-74x-120=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{\left(-74\right)^{2}-4\times 7\left(-120\right)}}{2\times 7}$$

Піднесіть -74 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5476-4\times 7\left(-120\right)}}{2\times 7}$$

Помножте -4 на 7.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5476-28\left(-120\right)}}{2\times 7}$$

Помножте -28 на -120.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5476+3360}}{2\times 7}$$

Додайте 5476 до 3360.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{8836}}{2\times 7}$$

Видобудьте квадратний корінь із 8836.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±94}{2\times 7}$$

Число, протилежне до -74, дорівнює 74.

$$x=\frac{74±94}{2\times 7}$$

Помножте 2 на 7.

$$x=\frac{74±94}{14}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{74±94}{14} за додатного значення ±. Додайте 74 до 94.

$$x=\frac{168}{14}$$

Розділіть 168 на 14.

$$x=12$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{74±94}{14} за від’ємного значення ±. Відніміть 94 від 74.

$$x=-\frac{20}{14}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-20}{14} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{10}{7}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть 12 на x_{1} та -\frac{10}{7} на x_{2}.

$$7x^{2}-74x-120=7\left(x-12\right)\left(x-\left(-\frac{10}{7}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$7x^{2}-74x-120=7\left(x-12\right)\left(x+\frac{10}{7}\right)$$

Щоб додати \frac{10}{7} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$7x^{2}-74x-120=7\left(x-12\right)\times \frac{7x+10}{7}$$

Відкиньте 7, тобто найбільший спільний дільник для 7 й 7.

$$7x^{2}-74x-120=\left(x-12\right)\left(7x+10\right)$$

Обчислити

$$\left(x-12\right)\left(7x+10\right)$$