Розв'яжіть 7x^2-3x-5=0

$$7 { x }^{ 2 } -3x-5=0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{149} + 3}{14} \approx 1,086182544$$

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}\approx -0,657611115$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$7x^{2}-3x-5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 7 замість a, -3 замість b і -5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Піднесіть -3 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Помножте -4 на 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Помножте -28 на -5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+140}}{2\times 7}$$

Додайте 9 до 140.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

Число, протилежне до -3, дорівнює 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

Помножте 2 на 7.

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{3±\sqrt{149}}{14} за додатного значення ±. Додайте 3 до \sqrt{149}.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{3±\sqrt{149}}{14} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{149} від 3.

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-3x-5=0$$

Додайте 5 до обох сторін цього рівняння.

$$7x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Якщо відняти -5 від самого себе, залишиться 0.

$$7x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

Відніміть -5 від 0.

$$7x^{2}-3x=5$$

Розділіть обидві сторони на 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{5}{7}$$

Ділення на 7 скасовує множення на 7.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{5}{7}$$

Поділіть -\frac{3}{7} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{3}{14}. Потім додайте -\frac{3}{14} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{5}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{3}{14} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{5}{7}+\frac{9}{196}$$

Щоб додати \frac{5}{7} до \frac{9}{196}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{149}{196}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{149}{196}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{149}{196}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{\sqrt{149}}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{\sqrt{149}}{14}$$

Додайте \frac{3}{14} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$