Розв'яжіть 7x^2+3x-4>0

$$7 { x }^{ 2 } +3x-4 > 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-\infty,-1\right)\cup \left(\frac{4}{7},\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$7x^{2}+3x-4=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 7 на a, 3 – на b, а -4 – на c.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 7\left(-4\right)}}{2\times 7}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-3±11}{14}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±11}{14} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{4}{7} x=-1$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$7\left(x-\frac{4}{7}\right)\left(x+1\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, x-\frac{4}{7} і x+1 мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли x-\frac{4}{7} і x+1 від’ємні.

$$x-\frac{4}{7}<0 x+1<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x<-1.

$$x<-1$$

Розглянемо випадок, коли x-\frac{4}{7} і x+1 додатні.

$$x+1>0 x-\frac{4}{7}>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x>\frac{4}{7}.

$$x>\frac{4}{7}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x<-1\text{; }x>\frac{4}{7}$$