Розв'яжіть 69x-4<2x^2

$$69 x - 4 < 2 x ^ { 2 }$$

Знайти x

$$x\in \left(-\infty,\frac{69-\sqrt{4729}}{4}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{4729}+69}{4},\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Відніміть 2x^{2} з обох сторін.

$$69x-4-2x^{2}<0$$

Помножте нерівність на -1, щоб коефіцієнт при найвищому ступені в 69x-4-2x^{2} був додатний. Оскільки -1 від'ємне, нерівність напрямок.

$$-69x+4+2x^{2}>0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$-69x+4+2x^{2}=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 2 на a, -69 – на b, а 4 – на c.

$$x=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{\left(-69\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{69±\sqrt{4729}}{4}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{69±\sqrt{4729}}{4} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{\sqrt{4729}+69}{4} x=\frac{69-\sqrt{4729}}{4}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4}\right)\left(x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4}\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4} і x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4} мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4} і x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4} від’ємні.

$$x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4}<0 x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x<\frac{69-\sqrt{4729}}{4}.

$$x<\frac{69-\sqrt{4729}}{4}$$

Розглянемо випадок, коли x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4} і x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4} додатні.

$$x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4}>0 x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4}>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x>\frac{\sqrt{4729}+69}{4}.

$$x>\frac{\sqrt{4729}+69}{4}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x<\frac{69-\sqrt{4729}}{4}\text{; }x>\frac{\sqrt{4729}+69}{4}$$