Розв'яжіть 69x^2-38x+5=0

$$69 { x }^{ 2 } -38x+5=0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=\frac{5}{23}\approx 0,217391304$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 69x^{2}+ax+bx+5. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-38 ab=69\times 5=345$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 345.

$$-1,-345 -3,-115 -5,-69 -15,-23$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-345=-346 -3-115=-118 -5-69=-74 -15-23=-38$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -38.

$$a=-23 b=-15$$

Перепишіть 69x^{2}-38x+5 як \left(69x^{2}-23x\right)+\left(-15x+5\right).

$$\left(69x^{2}-23x\right)+\left(-15x+5\right)$$

23x на першій та -5 в друге групу.

$$23x\left(3x-1\right)-5\left(3x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x-1\right)\left(23x-5\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 3x-1=0 та 23x-5=0.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{5}{23}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$69x^{2}-38x+5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 69 замість a, -38 замість b і 5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\times 69\times 5}}{2\times 69}$$

Піднесіть -38 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\times 69\times 5}}{2\times 69}$$

Помножте -4 на 69.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-276\times 5}}{2\times 69}$$

Помножте -276 на 5.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-1380}}{2\times 69}$$

Додайте 1444 до -1380.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{64}}{2\times 69}$$

Видобудьте квадратний корінь із 64.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±8}{2\times 69}$$

Число, протилежне до -38, дорівнює 38.

$$x=\frac{38±8}{2\times 69}$$

Помножте 2 на 69.

$$x=\frac{38±8}{138}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{38±8}{138} за додатного значення ±. Додайте 38 до 8.

$$x=\frac{46}{138}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 46, щоб звести дріб \frac{46}{138} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{38±8}{138} за від’ємного значення ±. Відніміть 8 від 38.

$$x=\frac{30}{138}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{30}{138} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{5}{23}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{5}{23}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$69x^{2}-38x+5=0$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$69x^{2}-38x+5-5=-5$$

Якщо відняти 5 від самого себе, залишиться 0.

$$69x^{2}-38x=-5$$

Розділіть обидві сторони на 69.

$$\frac{69x^{2}-38x}{69}=-\frac{5}{69}$$

Ділення на 69 скасовує множення на 69.

$$x^{2}-\frac{38}{69}x=-\frac{5}{69}$$

Поділіть -\frac{38}{69} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{19}{69}. Потім додайте -\frac{19}{69} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{38}{69}x+\left(-\frac{19}{69}\right)^{2}=-\frac{5}{69}+\left(-\frac{19}{69}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{19}{69} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{38}{69}x+\frac{361}{4761}=-\frac{5}{69}+\frac{361}{4761}$$

Щоб додати -\frac{5}{69} до \frac{361}{4761}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{38}{69}x+\frac{361}{4761}=\frac{16}{4761}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{38}{69}x+\frac{361}{4761} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{69}\right)^{2}=\frac{16}{4761}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{69}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{4761}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{19}{69}=\frac{4}{69} x-\frac{19}{69}=-\frac{4}{69}$$

Додайте \frac{19}{69} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{5}{23}$$