Розв'яжіть 64x^2+24sqrt{5}x+33=0

$$64 x ^ { 2 } + 24 \sqrt { 5 } x + 33 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}\approx -0,419262746+0,582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}\approx -0,419262746-0,582961191i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 64 замість a, 24\sqrt{5} замість b і 33 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{\left(24\sqrt{5}\right)^{2}-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Піднесіть 24\sqrt{5} до квадрата.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Помножте -4 на 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-256\times 33}}{2\times 64}$$

Помножте -256 на 33.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-8448}}{2\times 64}$$

Додайте 2880 до -8448.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{-5568}}{2\times 64}$$

Видобудьте квадратний корінь із -5568.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{2\times 64}$$

Помножте 2 на 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} за додатного значення ±. Додайте -24\sqrt{5} до 8i\sqrt{87}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}+8\sqrt{87}i}{128}$$

Розділіть -24\sqrt{5}+8i\sqrt{87} на 128.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} за від’ємного значення ±. Відніміть 8i\sqrt{87} від -24\sqrt{5}.

$$x=\frac{-8\sqrt{87}i-24\sqrt{5}}{128}$$

Розділіть -24\sqrt{5}-8i\sqrt{87} на 128.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Відніміть 33 від обох сторін цього рівняння.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33-33=-33$$

Якщо відняти 33 від самого себе, залишиться 0.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x=-33$$

Розділіть обидві сторони на 64.

$$\frac{64x^{2}+24\sqrt{5}x}{64}=-\frac{33}{64}$$

Ділення на 64 скасовує множення на 64.

$$x^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{64}x=-\frac{33}{64}$$

Розділіть 24\sqrt{5} на 64.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x=-\frac{33}{64}$$

Поділіть \frac{3\sqrt{5}}{8} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{3\sqrt{5}}{16}. Потім додайте \frac{3\sqrt{5}}{16} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{64}+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}$$

Піднесіть \frac{3\sqrt{5}}{16} до квадрата.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{33}{64}+\frac{45}{256}$$

Щоб додати -\frac{33}{64} до \frac{45}{256}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{87}{256}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

Відніміть \frac{3\sqrt{5}}{16} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$