Розв'яжіть 64v^2+48v+9

$$64 v ^ { 2 } + 48 v + 9$$

Розкласти на множники

$$\left(8v+3\right)^{2}$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 64v^{2}+av+bv+9. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=48 ab=64\times 9=576$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 576.

$$1,576 2,288 3,192 4,144 6,96 8,72 9,64 12,48 16,36 18,32 24,24$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+576=577 2+288=290 3+192=195 4+144=148 6+96=102 8+72=80 9+64=73 12+48=60 16+36=52 18+32=50 24+24=48$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 48.

$$a=24 b=24$$

Перепишіть 64v^{2}+48v+9 як \left(64v^{2}+24v\right)+\left(24v+9\right).

$$\left(64v^{2}+24v\right)+\left(24v+9\right)$$

8v на першій та 3 в друге групу.

$$8v\left(8v+3\right)+3\left(8v+3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 8v+3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(8v+3\right)^{2}$$

Покрокові інструкції з використання квадрату двочлена

Цей тричлен має форму квадратного тричлена, можливо, помноженого на спільний множник. Квадратні тричлени можна розкласти на множники, якщо обчислити квадратні корені першого та останнього доданків.

$$factor(64v^{2}+48v+9)$$

Обчисліть найбільший спільний дільник коефіцієнтів.

$$gcf(64,48,9)=1$$

Видобудьте квадратний корінь із найстаршого члена: 64v^{2}.

$$\sqrt{64v^{2}}=8v$$

Видобудьте квадратний корінь із наймолодшого члена: 9.

$$\sqrt{9}=3$$

Квадратний тричлен – це піднесений до квадрата двочлен, який складається із суми або різниці квадратних коренів із першого та останнього доданків. Знак визначається за знаком середнього доданка в квадратному тричлені.

$$\left(8v+3\right)^{2}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$64v^{2}+48v+9=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$v=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 64\times 9}}{2\times 64}$$

Піднесіть 48 до квадрата.

$$v=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 64\times 9}}{2\times 64}$$

Помножте -4 на 64.

$$v=\frac{-48±\sqrt{2304-256\times 9}}{2\times 64}$$

Помножте -256 на 9.

$$v=\frac{-48±\sqrt{2304-2304}}{2\times 64}$$

Додайте 2304 до -2304.

$$v=\frac{-48±\sqrt{0}}{2\times 64}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$v=\frac{-48±0}{2\times 64}$$

Помножте 2 на 64.

$$v=\frac{-48±0}{128}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть -\frac{3}{8} на x_{1} та -\frac{3}{8} на x_{2}.

$$64v^{2}+48v+9=64\left(v-\left(-\frac{3}{8}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{3}{8}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$64v^{2}+48v+9=64\left(v+\frac{3}{8}\right)\left(v+\frac{3}{8}\right)$$

Щоб додати \frac{3}{8} до v, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{8v+3}{8}\left(v+\frac{3}{8}\right)$$

Щоб додати \frac{3}{8} до v, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{8v+3}{8}\times \frac{8v+3}{8}$$

Щоб помножити \frac{8v+3}{8} на \frac{8v+3}{8}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)}{8\times 8}$$

Помножте 8 на 8.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)}{64}$$

Відкиньте 64, тобто найбільший спільний дільник для 64 й 64.

$$64v^{2}+48v+9=\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)$$

Обчислити

$$\left(8v+3\right)^{2}$$