Розв'яжіть 64p^2-16p+1=0

$$64 { p }^{ 2 } -16p+1 = 0$$

Знайдіть p

$$p=\frac{1}{8}=0,125$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 64p^{2}+ap+bp+1. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-16 ab=64\times 1=64$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 64.

$$-1,-64 -2,-32 -4,-16 -8,-8$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-64=-65 -2-32=-34 -4-16=-20 -8-8=-16$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -16.

$$a=-8 b=-8$$

Перепишіть 64p^{2}-16p+1 як \left(64p^{2}-8p\right)+\left(-8p+1\right).

$$\left(64p^{2}-8p\right)+\left(-8p+1\right)$$

8p на першій та -1 в друге групу.

$$8p\left(8p-1\right)-\left(8p-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 8p-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(8p-1\right)\left(8p-1\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(8p-1\right)^{2}$$

Щоб знайти розв’язок рівняння, обчисліть 8p-1=0.

$$p=\frac{1}{8}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$64p^{2}-16p+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 64 замість a, -16 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 64}}{2\times 64}$$

Піднесіть -16 до квадрата.

$$p=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 64}}{2\times 64}$$

Помножте -4 на 64.

$$p=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-256}}{2\times 64}$$

Додайте 256 до -256.

$$p=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{0}}{2\times 64}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$p=-\frac{-16}{2\times 64}$$

Число, протилежне до -16, дорівнює 16.

$$p=\frac{16}{2\times 64}$$

Помножте 2 на 64.

$$p=\frac{16}{128}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 16, щоб звести дріб \frac{16}{128} до нескоротного вигляду.

$$p=\frac{1}{8}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$64p^{2}-16p+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$64p^{2}-16p+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$64p^{2}-16p=-1$$

Розділіть обидві сторони на 64.

$$\frac{64p^{2}-16p}{64}=-\frac{1}{64}$$

Ділення на 64 скасовує множення на 64.

$$p^{2}+\left(-\frac{16}{64}\right)p=-\frac{1}{64}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 16, щоб звести дріб \frac{-16}{64} до нескоротного вигляду.

$$p^{2}-\frac{1}{4}p=-\frac{1}{64}$$

Поділіть -\frac{1}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{8}. Потім додайте -\frac{1}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$p^{2}-\frac{1}{4}p+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{64}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$p^{2}-\frac{1}{4}p+\frac{1}{64}=\frac{-1+1}{64}$$

Щоб додати -\frac{1}{64} до \frac{1}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$p^{2}-\frac{1}{4}p+\frac{1}{64}=0$$

Розкладіть p^{2}-\frac{1}{4}p+\frac{1}{64} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{1}{8}\right)^{2}=0$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(p-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Виконайте спрощення.

$$p-\frac{1}{8}=0 p-\frac{1}{8}=0$$

Додайте \frac{1}{8} до обох сторін цього рівняння.

$$p=\frac{1}{8} p=\frac{1}{8}$$

Тепер рівняння розв’язано. Розв’язки збігаються.

$$p=\frac{1}{8}$$