Розв'яжіть 60-x^2+4x>0

$$60- { x }^{ 2 } +4x > 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-6,10\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Помножте нерівність на -1, щоб коефіцієнт при найвищому ступені в 60-x^{2}+4x був додатний. Оскільки -1 від'ємне, нерівність напрямок.

$$-60+x^{2}-4x<0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$-60+x^{2}-4x=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -4 – на b, а -60 – на c.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-60\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{4±16}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{4±16}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=10 x=-6$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x-10\right)\left(x+6\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-10 і x+6 мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-10 має додатне значення, а x+6 – від’ємне.

$$x-10>0 x+6<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x+6 має додатне значення, а x-10 – від’ємне.

$$x+6>0 x-10<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(-6,10\right).

$$x\in \left(-6,10\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(-6,10\right)$$