Розв'яжіть 6y^2+19y+10

$$6 y ^ { 2 } + 19 y + 10$$

Розкласти на множники

$$\left(2y+5\right)\left(3y+2\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 6y^{2}+ay+by+10. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=19 ab=6\times 10=60$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 19.

$$a=4 b=15$$

Перепишіть 6y^{2}+19y+10 як \left(6y^{2}+4y\right)+\left(15y+10\right).

$$\left(6y^{2}+4y\right)+\left(15y+10\right)$$

2y на першій та 5 в друге групу.

$$2y\left(3y+2\right)+5\left(3y+2\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3y+2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3y+2\right)\left(2y+5\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$6y^{2}+19y+10=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$y=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

Піднесіть 19 до квадрата.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

Помножте -4 на 6.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-24\times 10}}{2\times 6}$$

Помножте -24 на 10.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-240}}{2\times 6}$$

Додайте 361 до -240.

$$y=\frac{-19±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Видобудьте квадратний корінь із 121.

$$y=\frac{-19±11}{2\times 6}$$

Помножте 2 на 6.

$$y=\frac{-19±11}{12}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-19±11}{12} за додатного значення ±. Додайте -19 до 11.

$$y=-\frac{8}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-8}{12} до нескоротного вигляду.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-19±11}{12} за від’ємного значення ±. Відніміть 11 від -19.

$$y=-\frac{30}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-30}{12} до нескоротного вигляду.

$$y=-\frac{5}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть -\frac{2}{3} на x_{1} та -\frac{5}{2} на x_{2}.

$$6y^{2}+19y+10=6\left(y-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(y-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$6y^{2}+19y+10=6\left(y+\frac{2}{3}\right)\left(y+\frac{5}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{2}{3} до y, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$6y^{2}+19y+10=6\times \frac{3y+2}{3}\left(y+\frac{5}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{5}{2} до y, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$6y^{2}+19y+10=6\times \frac{3y+2}{3}\times \frac{2y+5}{2}$$

Щоб помножити \frac{3y+2}{3} на \frac{2y+5}{2}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$6y^{2}+19y+10=6\times \frac{\left(3y+2\right)\left(2y+5\right)}{3\times 2}$$

Помножте 3 на 2.

$$6y^{2}+19y+10=6\times \frac{\left(3y+2\right)\left(2y+5\right)}{6}$$

Відкиньте 6, тобто найбільший спільний дільник для 6 й 6.

$$6y^{2}+19y+10=\left(3y+2\right)\left(2y+5\right)$$

Обчислити

$$\left(2y+5\right)\left(3y+2\right)$$