Розв'яжіть 6x^2-x=15

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Відніміть 15 з обох сторін.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 6x^{2}+ax+bx-15. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -1.

$$a=-10 b=9$$

Перепишіть 6x^{2}-x-15 як \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right).

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

2x на першій та 3 в друге групу.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 3x-5=0 та 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$6x^{2}-x=15$$

Відніміть 15 від обох сторін цього рівняння.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

Якщо відняти 15 від самого себе, залишиться 0.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 6 замість a, -1 замість b і -15 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -4 на 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -24 на -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

Додайте 1 до 360.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Видобудьте квадратний корінь із 361.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

Число, протилежне до -1, дорівнює 1.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

Помножте 2 на 6.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±19}{12} за додатного значення ±. Додайте 1 до 19.

$$x=\frac{20}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{20}{12} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{5}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±19}{12} за від’ємного значення ±. Відніміть 19 від 1.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-18}{12} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=15$$

Розділіть обидві сторони на 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

Ділення на 6 скасовує множення на 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{15}{6} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

Поділіть -\frac{1}{6} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{12}. Потім додайте -\frac{1}{12} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{12} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

Щоб додати \frac{5}{2} до \frac{1}{144}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

Додайте \frac{1}{12} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$