Розв'яжіть 6x^2-7x-3=0

$$6 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 6x^{2}+ax+bx-3. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-7 ab=6\left(-3\right)=-18$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -7.

$$a=-9 b=2$$

Перепишіть 6x^{2}-7x-3 як \left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right).

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right)$$

Винесіть за дужки 3x в 6x^{2}-9x.

$$3x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть 2x-3=0 і 3x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 6 замість a, -7 замість b і -3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Піднесіть -7 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -4 на 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -24 на -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 6}$$

Додайте 49 до 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Видобудьте квадратний корінь із 121.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 6}$$

Число, протилежне до -7, дорівнює 7.

$$x=\frac{7±11}{2\times 6}$$

Помножте 2 на 6.

$$x=\frac{7±11}{12}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{7±11}{12} за додатного значення ±. Додайте 7 до 11.

$$x=\frac{18}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{18}{12} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{3}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{7±11}{12} за від’ємного значення ±. Відніміть 11 від 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-4}{12} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Додайте 3 до обох сторін цього рівняння.

$$6x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Якщо відняти -3 від самого себе, залишиться 0.

$$6x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Відніміть -3 від 0.

$$6x^{2}-7x=3$$

Розділіть обидві сторони на 6.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=\frac{3}{6}$$

Ділення на 6 скасовує множення на 6.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{3}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{3}{6} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{1}{2}$$

Поділіть -\frac{7}{6} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{12}. Потім додайте -\frac{7}{12} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{12} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{2}+\frac{49}{144}$$

Щоб додати \frac{1}{2} до \frac{49}{144}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{121}{144}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{11}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{11}{12}$$

Додайте \frac{7}{12} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$