Розв'яжіть 6x^2-5x+1<0

$$6 x ^ { 2 } - 5 x + 1 < 0$$

Знайти x

$$x\in \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-5x+1=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 6 на a, -5 – на b, а 1 – на c.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\times 1}}{2\times 6}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{5±1}{12}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{5±1}{12} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{3}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$6\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-\frac{1}{2} і x-\frac{1}{3} мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-\frac{1}{2} має додатне значення, а x-\frac{1}{3} – від’ємне.

$$x-\frac{1}{2}>0 x-\frac{1}{3}<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x-\frac{1}{3} має додатне значення, а x-\frac{1}{2} – від’ємне.

$$x-\frac{1}{3}>0 x-\frac{1}{2}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$$