Розв'яжіть 6x^2-14x-9=0

$$6 x ^ { 2 } - 14 x - 9 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{103} + 7}{6} \approx 2,858148594$$

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}\approx -0,524815261$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 6 замість a, -14 замість b і -9 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Піднесіть -14 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -4 на 6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -24 на -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+216}}{2\times 6}$$

Додайте 196 до 216.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{412}}{2\times 6}$$

Видобудьте квадратний корінь із 412.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

Число, протилежне до -14, дорівнює 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

Помножте 2 на 6.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12} за додатного значення ±. Додайте 14 до 2\sqrt{103}.

$$x=\frac{2\sqrt{103}+14}{12}$$

Розділіть 14+2\sqrt{103} на 12.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{103} від 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{103}}{12}$$

Розділіть 14-2\sqrt{103} на 12.

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

Додайте 9 до обох сторін цього рівняння.

$$6x^{2}-14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Якщо відняти -9 від самого себе, залишиться 0.

$$6x^{2}-14x=-\left(-9\right)$$

Відніміть -9 від 0.

$$6x^{2}-14x=9$$

Розділіть обидві сторони на 6.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{9}{6}$$

Ділення на 6 скасовує множення на 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{9}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-14}{6} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{9}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{9}{6} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{3}{2}$$

Поділіть -\frac{7}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{6}. Потім додайте -\frac{7}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{3}{2}+\frac{49}{36}$$

Щоб додати \frac{3}{2} до \frac{49}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{103}{36}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{103}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{103}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{103}}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{103}}{6}$$

Додайте \frac{7}{6} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$