Розв'яжіть 6x^2-13x-63<0

$$6 x ^ { 2 } - 13 x - 63 < 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-\frac{7}{3},\frac{9}{2}\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-13x-63=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 6 на a, -13 – на b, а -63 – на c.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 6\left(-63\right)}}{2\times 6}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{13±41}{12}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{13±41}{12} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{7}{3}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$6\left(x-\frac{9}{2}\right)\left(x+\frac{7}{3}\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-\frac{9}{2} і x+\frac{7}{3} мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-\frac{9}{2} має додатне значення, а x+\frac{7}{3} – від’ємне.

$$x-\frac{9}{2}>0 x+\frac{7}{3}<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x+\frac{7}{3} має додатне значення, а x-\frac{9}{2} – від’ємне.

$$x+\frac{7}{3}>0 x-\frac{9}{2}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(-\frac{7}{3},\frac{9}{2}\right).

$$x\in \left(-\frac{7}{3},\frac{9}{2}\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(-\frac{7}{3},\frac{9}{2}\right)$$