Розв'яжіть 6x^2-13x-5geq0

$$6 x ^ { 2 } - 13 x - 5 \geq 0$$

Знайти x

$$x\in (-\infty,-\frac{1}{3}]\cup [\frac{5}{2},\infty)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-13x-5=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 6 на a, -13 – на b, а -5 – на c.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{13±17}{12}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{13±17}{12} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$6\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\geq 0$$

Щоб добуток був ≥0, x-\frac{5}{2} і x+\frac{1}{3} мають одночасно бути або ≤0, або ≥0. Розглянемо випадок, коли x-\frac{5}{2} і x+\frac{1}{3} ≤0.

$$x-\frac{5}{2}\leq 0 x+\frac{1}{3}\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\leq -\frac{1}{3}.

$$x\leq -\frac{1}{3}$$

Розглянемо випадок, коли x-\frac{5}{2} і x+\frac{1}{3} ≥0.

$$x+\frac{1}{3}\geq 0 x-\frac{5}{2}\geq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\geq \frac{5}{2}.

$$x\geq \frac{5}{2}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\leq -\frac{1}{3}\text{; }x\geq \frac{5}{2}$$