Розв'яжіть 6x^2-12x+3geq0

$$6 x ^ { 2 } - 12 x + 3 \geq 0$$

Знайти x

$$x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}+1]\cup [\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\infty)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-12x+3=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 6 на a, -12 – на b, а 3 – на c.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{12±6\sqrt{2}}{12}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{12±6\sqrt{2}}{12} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$6\left(x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\geq 0$$

Щоб добуток був ≥0, x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) і x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) мають одночасно бути або ≤0, або ≥0. Розглянемо випадок, коли x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) і x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) ≤0.

$$x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\leq 0 x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Розглянемо випадок, коли x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) і x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) ≥0.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\geq 0 x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\geq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1\text{; }x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1$$