Розв'яжіть 6x^2+7x+2=0

$$6 x ^ { 2 } + 7 x + 2 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 6x^{2}+ax+bx+2. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=7 ab=6\times 2=12$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 7.

$$a=3 b=4$$

Перепишіть 6x^{2}+7x+2 як \left(6x^{2}+3x\right)+\left(4x+2\right).

$$\left(6x^{2}+3x\right)+\left(4x+2\right)$$

3x на першій та 2 в друге групу.

$$3x\left(2x+1\right)+2\left(2x+1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x+1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x+1\right)\left(3x+2\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 2x+1=0 та 3x+2=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$6x^{2}+7x+2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 6 замість a, 7 замість b і 2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Піднесіть 7 до квадрата.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Помножте -4 на 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\times 2}}{2\times 6}$$

Помножте -24 на 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2\times 6}$$

Додайте 49 до -48.

$$x=\frac{-7±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1.

$$x=\frac{-7±1}{2\times 6}$$

Помножте 2 на 6.

$$x=\frac{-7±1}{12}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-7±1}{12} за додатного значення ±. Додайте -7 до 1.

$$x=-\frac{6}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-6}{12} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-7±1}{12} за від’ємного значення ±. Відніміть 1 від -7.

$$x=-\frac{8}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-8}{12} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x+2=0$$

Відніміть 2 від обох сторін цього рівняння.

$$6x^{2}+7x+2-2=-2$$

Якщо відняти 2 від самого себе, залишиться 0.

$$6x^{2}+7x=-2$$

Розділіть обидві сторони на 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=-\frac{2}{6}$$

Ділення на 6 скасовує множення на 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=-\frac{2}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-2}{6} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=-\frac{1}{3}$$

Поділіть \frac{7}{6} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{7}{12}. Потім додайте \frac{7}{12} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{7}{12} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=-\frac{1}{3}+\frac{49}{144}$$

Щоб додати -\frac{1}{3} до \frac{49}{144}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{144}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{1}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{1}{12}$$

Відніміть \frac{7}{12} від обох сторін цього рівняння.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$