Розв'яжіть 6x^2+33x+36leq0

$$6 x ^ { 2 } + 33 x + 36 \leq 0$$

Знайти x

$$x\in \begin{bmatrix}-4,-\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}+33x+36=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 6 на a, 33 – на b, а 36 – на c.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 6\times 36}}{2\times 6}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-33±15}{12}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{-33±15}{12} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=-\frac{3}{2} x=-4$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$6\left(x+\frac{3}{2}\right)\left(x+4\right)\leq 0$$

Щоб добуток був ≤0, одне зі значень x+\frac{3}{2} і x+4 має бути ≥0, а інше – ≤0. Розглянемо випадок, коли x+\frac{3}{2}\geq 0 і x+4\leq 0.

$$x+\frac{3}{2}\geq 0 x+4\leq 0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x+\frac{3}{2}\leq 0 і x+4\geq 0.

$$x+4\geq 0 x+\frac{3}{2}\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left[-4,-\frac{3}{2}\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-4,-\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \begin{bmatrix}-4,-\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$