Розв'яжіть 6x+9y=9text{and}-6x+6y=1

$$6 x + 9 y = 9 \text { and } - 6 x + 6 y = 1$$

Знайдіть x, y

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$6x+9y=9,-6x+6y=1$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$6x+9y=9$$

Відніміть 9y від обох сторін цього рівняння.

$$6x=-9y+9$$

Розділіть обидві сторони на 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-9y+9\right)$$

Помножте \frac{1}{6} на -9y+9.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}$$

Підставте \frac{-3y+3}{2} замість x в іншому рівнянні: -6x+6y=1.

$$-6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}\right)+6y=1$$

Помножте -6 на \frac{-3y+3}{2}.

$$9y-9+6y=1$$

Додайте 9y до 6y.

$$15y-9=1$$

Додайте 9 до обох сторін цього рівняння.

$$15y=10$$

Розділіть обидві сторони на 15.

$$y=\frac{2}{3}$$

Підставте \frac{2}{3} замість y у рівняння x=-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{2}{3}+\frac{3}{2}$$

Щоб помножити -\frac{3}{2} на \frac{2}{3}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x=-1+\frac{3}{2}$$

Додайте \frac{3}{2} до -1.

$$x=\frac{1}{2}$$

Систему розв’язано.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{2}{3}$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$6x+9y=9,-6x+6y=1$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-9\left(-6\right)}&-\frac{9}{6\times 6-9\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{6\times 6-9\left(-6\right)}&\frac{6}{6\times 6-9\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 9-\frac{1}{10}\\\frac{1}{15}\times 9+\frac{1}{15}\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{2}{3}$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$6x+9y=9,-6x+6y=1$$

Щоб отримати рівність між 6x і -6x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на -6, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 6.

$$-6\times 6x-6\times 9y=-6\times 9,6\left(-6\right)x+6\times 6y=6$$

Виконайте спрощення.

$$-36x-54y=-54,-36x+36y=6$$

Знайдіть різницю -36x+36y=6 і -36x-54y=-54. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$-36x+36x-54y-36y=-54-6$$

Додайте -36x до 36x. Члени -36x та 36x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$-54y-36y=-54-6$$

Додайте -54y до -36y.

$$-90y=-54-6$$

Додайте -54 до -6.

$$-90y=-60$$

Розділіть обидві сторони на -90.

$$y=\frac{2}{3}$$

Підставте \frac{2}{3} замість y у рівняння -6x+6y=1. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$-6x+6\times \frac{2}{3}=1$$

Помножте 6 на \frac{2}{3}.

$$-6x+4=1$$

Відніміть 4 від обох сторін цього рівняння.

$$-6x=-3$$

Розділіть обидві сторони на -6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Систему розв’язано.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{2}{3}$$