Розв'яжіть 6v^2+17v+5

$$6 v ^ { 2 } + 17 v + 5$$

Розкласти на множники

$$\left(2v+5\right)\left(3v+1\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 6v^{2}+av+bv+5. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=17 ab=6\times 5=30$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 17.

$$a=2 b=15$$

Перепишіть 6v^{2}+17v+5 як \left(6v^{2}+2v\right)+\left(15v+5\right).

$$\left(6v^{2}+2v\right)+\left(15v+5\right)$$

2v на першій та 5 в друге групу.

$$2v\left(3v+1\right)+5\left(3v+1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3v+1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3v+1\right)\left(2v+5\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$6v^{2}+17v+5=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$v=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 6\times 5}}{2\times 6}$$

Піднесіть 17 до квадрата.

$$v=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 6\times 5}}{2\times 6}$$

Помножте -4 на 6.

$$v=\frac{-17±\sqrt{289-24\times 5}}{2\times 6}$$

Помножте -24 на 5.

$$v=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 6}$$

Додайте 289 до -120.

$$v=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Видобудьте квадратний корінь із 169.

$$v=\frac{-17±13}{2\times 6}$$

Помножте 2 на 6.

$$v=\frac{-17±13}{12}$$

Тепер розв’яжіть рівняння v=\frac{-17±13}{12} за додатного значення ±. Додайте -17 до 13.

$$v=-\frac{4}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-4}{12} до нескоротного вигляду.

$$v=-\frac{1}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння v=\frac{-17±13}{12} за від’ємного значення ±. Відніміть 13 від -17.

$$v=-\frac{30}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-30}{12} до нескоротного вигляду.

$$v=-\frac{5}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть -\frac{1}{3} на x_{1} та -\frac{5}{2} на x_{2}.

$$6v^{2}+17v+5=6\left(v-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$6v^{2}+17v+5=6\left(v+\frac{1}{3}\right)\left(v+\frac{5}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{1}{3} до v, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$6v^{2}+17v+5=6\times \frac{3v+1}{3}\left(v+\frac{5}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{5}{2} до v, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$6v^{2}+17v+5=6\times \frac{3v+1}{3}\times \frac{2v+5}{2}$$

Щоб помножити \frac{3v+1}{3} на \frac{2v+5}{2}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$6v^{2}+17v+5=6\times \frac{\left(3v+1\right)\left(2v+5\right)}{3\times 2}$$

Помножте 3 на 2.

$$6v^{2}+17v+5=6\times \frac{\left(3v+1\right)\left(2v+5\right)}{6}$$

Відкиньте 6, тобто найбільший спільний дільник для 6 й 6.

$$6v^{2}+17v+5=\left(3v+1\right)\left(2v+5\right)$$

Обчислити

$$\left(2v+5\right)\left(3v+1\right)$$